\section{Adaptive Filter}
\subsection{Vergleich}
\label{kap:vergleich}
Die digitale Signalverarbeitung funktioniert bei digitalen und adaptiven Filtern ähnlich.
Der große Unterschied ist, dass bei einem adaptiven Filter die Koeffizienten nicht zeitlich konstant sind.
Wenn man die Koeffizienten $\omega_L$ über die Zeit verändert erhält der Filter eine zeitveränderliche Charakeristik.
Abbildung \ref{fig:adaptgewicht} zeigt einen adaptiven Summierer, der die Signale in den Verzögerungselementen mit den Koeffizienten $\omega_{Lk}$ multipliziert.
Das Ergebnis ist $y_k$.

Für ein einzelnes Eingangssignal ergibt sich die Formel:
\begin{equation} 
y_k = \sum\limits_{l=0}^L w_{lk} \cdot x_{k-l}
\end{equation}

\begin{figure}[htp]
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.75\textwidth]{Bilder/adaptfiltergewichte1.pdf}
  \caption[Adaptiver Summierer]{Adaptiver Summierer mit einem Eingang und $L$ Gewichten $\omega$\\ 
  Das Schaubild stammt aus der Quelle \cite[S. 17]{widrow1985adaptive}. 
  Der Eingangsvektor $x_k$ soll verdeutlichen, dass man ein adaptiver Filter auch mehrere Signale verarbeiten kann.
  Er multipliziert jedes Signal mit dem Gewicht $\omega_L$ und addiert sie zusammen. 
  In dieser Ausarbeitung wird aber immer nur ein Eingangssignal $x$ benutzt.
  }
  \label{fig:adaptgewicht}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Closed-Loop Adaptation}%\footnote{Um die Übersicht zu bewahren wird die \emph{Open-Loop Adaption} vernachlässigt.}}
Die wichtige Frage die Kapitel \ref{kap:vergleich} offen lässt ist, wie der Koeffizientenvektor verändert wird.
Für das Verständniss braucht der adaptive Filter eine Funktion.
Das \emph{Closed-Loop}-Verfahren\footnote{In diesem Bericht werden nur auf Anwendungen den Closed-Loop verfahrens eingegangen. 
Das \emph{Open-Loop}-Verfahren orientiert sich an dem Eingangssignal des Systems, was aber nur in speziellen Fällen angewendet wird.}
vergleicht immer das Ausgangssignal des Filters.
Zusätzlich können noch externe Signale genutzt werden, siehe Kapitel \ref{kap:noisecancelling}.

Der Sinn hinter den veränderbaren Gewichten ist, dass man die Qualität eines Systems verbessern will, oder ein variables Eingangssignal auf verschiedene Weisen regeln möchte.
Dazu braucht man einen Vergleich zwischen dem Ausgangssignal und einem ``Wunschsignal''.
Um den Fehler zwischen ``Wunschsignal'' und Ausgangssignal zu verarbeiten wird eine Regelung verwendet.
Das gewünschte Signal ist die Stellgröße \( d_k\) und das Ausgangssignal wird von ihr abgezogen.\marginpar{optimieren}
\begin{figure}[htp]
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{Bilder/closedloop.pdf}
  \caption[Closed-Loop Adaption]{Schaubild eines Closed-Loop-Filters.\footnotemark
  Die Differenz der Signale ist der Fehler. Er beeinflusst die Änderung der Gewichte durch den Adaptionsalgorithmus \cite[S. 9]{widrow1985adaptive}.
  }
  \label{fig:closedloop}
\end{center}
\end{figure}

Voraussetzung für eine solche Optimierung \cite[Kap. 18]{williams1997digital} ist, dass man das gewünschte Signal kennt, und erzeugen kann.
